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蚁群算法-求解TSP问题

时间：2024-05-08 00:15:38 来源：不龟手药网作者：知识阅读：191次

蚁群算法-求解TSP问题

蚁群算法（Ant Colony Algorithm）最初于1992年由意大利学者M.Dorigo等人提出，蚁群它是算法一种模拟自然界中真实蚁群觅食行为的仿生优化算法。研究发现：每只蚂蚁觅食时在走过的求解路线上会留下一种称为信息素的物质，蚂蚁之间靠感知这种物质的蚁群浓度进行信息传递。蚂蚁在选择路径时总是算法倾向于朝信息索浓度高的方向移动，而距离短的求解路径上走过的蚂蚁多，留下的蚁群信息素也多，后续蚂蚁选择它的算法概率也会越大；其他路径上的信息素会随着时间的推移不断挥发，这样就形成了一种正反馈机制，求解最后整个蚁群聚集到最短路径上。蚁群

人工蚁群算法模拟了这一过程。算法每只蚂蚁在解空间独立地搜索可行解，求解解越好留下的蚁群信息素越多，随着算法推进，算法较优解路径上的求解信息素增多，选择它的蚂蚁也随之增多，最终收敛到最优或近似最优的解上。

蚁群优化算法最初用于解决旅行商问题（Travelling Salesman Problem，TSP），称为蚂蚁系统（Ant System，AS）。该蚂蚁系统包含了蚁周算法、蚁密算法和蚁量算法。首先来介绍蚁周算法。对于TSP问题，假设n为城市规模，i和j为任意两个城市， $d_{ i j}$ 表示城市之间的距离， $b_{ i}(t)(i=1, \ldots, n)$ 表示t时刻在城市i蚂蚁的数量，则 $m=\sum_{ i=1}^{ n} b_{ i}(t)$ 表示蚂蚁的总数量。在遍历的过程中，把蚂蚁经过一个城市称为一次迭代，那么遍历n个城市需要n次迭代。

蚂蚁系统采用 $\tau_{ \mathfrak{ ij}}(t)$ 来模仿t时刻路径i到j上面的信息残留量，即信息素浓度。类似于蚂蚁觅食过程，每条路径上面的信息素会挥发，如果有蚂蚁经过的时候，信息素的浓度会相应增加。因此，蚂蚁系统中的信息素浓度的更新公式为：

$\tau_{ i j}(t+n)=\rho \cdot \tau_{ i j}(t)+\Delta \tau_{ i j}\quad\quad(1) \\$

式中， $\rho$ 是一个0到1的数字， $(1-\rho)$ 为挥发因子。另外， $\Delta \tau_{ i j}$ 表示一次旅行（遍历完所有城市）后，所有路径i到j的蚂蚁留下的信息素总量，即：

$\Delta \tau_{ i j}=\sum_{ k=1}^{ m} \Delta \tau_{ i j}^{ k} \\$

式中， $\Delta \tau_{ i j}^{ k}$ 表示第k只蚂蚁在路径i到j上面留下的信息素量。如果第k只蚂蚁经过路径i到j，则：

$\Delta \tau_{ i j}^{ k}=Q / L_{ k} \\$

式中，Q为一个常数， $L_{ k}$ 为蚂蚁已经走过路径的总长度。否则，第k只蚂蚁在i到j上面留下的信息素量为0。

一般来说有了信息素浓度的更新公式，就可以直接给出蚂蚁对每条路径的选择概率了。然而，为了更好的利用TSP问题自身的性质，M.Dorigo等引入了一个启发项： $\eta_{ i j}=1 / d_{ i j}$ 。通过结合信息素浓度和启发因子，可以得到蚂蚁选择路径i到j的概率为：

$p_{ i j}^{ k}(t)=\left\{ \begin{ array}{ ll}{ \frac{ \left[\tau_{ i j}(t)\right]^{ \alpha}\left[\eta_{ i j}\right]^{ \beta}}{ \sum_{ k \in \text { callowed }}\left[\tau_{ i k}(t)\right]^{ \alpha}\left[\eta_{ i k}\right]^{ \beta}},} & { j \in \text { allowed }_{ k}} \\ { 0,} & { \text { else }}\end{ array}\right.\quad\quad (2) \\$

式中， $\alpha$ 和 $\beta$ 是调节因子，用于调节 $\tau_{ \ddot{ y}}(t)$ 和 $\eta_{ i j}$ 之间的作用。此外 $allowed_{ k}$ 表示蚂蚁k还没有走过的路径（用禁忌表存储已经走过的路径），通过这种存储可以保证所有解的逻辑可行。如果路径i到j上的信息浓度越大 $\tau_{ \mathrm{ ij}}(t)$ 的值就越大，该路径被选择的概率就越大；同样，如果该路径长度越短，则 $\eta_{ \mathrm{ i}}=1 / d_{ i j}$ 越大，该路径被选择的概率也越大。

蚁量算法和蚁密算法跟蚁周算法的区别之处在于信息素量的更新方式。蚁量算法的信息素量更新方式如下：

$\Delta \tau_{ i j}^{ k}=\left\{ \begin{ array}{ l}{ Q / d_{ i j}} \quad 如果蚂蚁k在时间t到t+1之间经过路径i-j \\ { 0} \quad else \end{ array}\right. \\$

可以看出，蚁量模型只用到了当前路径的信息，没有考虑全局信息。

蚁密算法的信息素量更新方式如下：

$\Delta \tau_{ i j}^{ k}=\left\{ \begin{ array}{ l}{ Q} \quad 如果蚂蚁k在时间t到t+1之间经过路径i-j \\ { 0} \quad else \end{ array}\right. \\$

可以看出，蚂蚁分泌的信息素量只是一个常量，没有用到路径长度的信息。

求解TSP问题的蚁群算法中的人工蚂蚁具有以下特点：

1）他们概率性地选择下一条路径，该概率与路径长度和路径上的信息素浓度有关；

2）为了保证解的逻辑可行，蚂蚁不允许选择已经走过的路径（通过禁忌表实现）；

3）蚂蚁走过一条路径时会在该路径上面分泌一种叫做信息素的物质。

2.1 MATALB实现：

%%%一个旅行商人要拜访全国31个省会城市，需要选择最短的路径%%%%%%%蚁群算法解决TSP问题%%%%%%% clear all; %清除所有变量close all; %清图clc;       %清屏m=50;       %% m 蚂蚁个数Alpha=1;    %% Alpha 表征信息素重要程度的参数Beta=5;     %% Beta 表征启发式因子重要程度的参数Rho=0.1;    %% Rho 信息素蒸发系数NC_max=100; %%最大迭代次数Q=100;      %%信息素增加强度系数C=[1304 2312;3639 1315;4177 2244;3712 1399;3488 1535;3326 1556;3238 1229;4196 1004;4312 790;4386 570;3007 1970;2562 1756;2788 1491;2381 1676;1332 695;3715 1678;3918 2179;4061 2370;3780 2212;3676 2578;4029 2838;4263 2931;3429 1908;3507 2367;3394 2643;3439 3201;2935 3240;3140 3550;2545 2357;2778 2826;2370 2975];%%31个省会坐标%%-------------------------------------------------------------------------%% 主要符号说明%% C n个城市的坐标，n×2的矩阵%% NC_max 最大迭代次数%% m 蚂蚁个数%% Alpha 表征信息素重要程度的参数%% Beta 表征启发式因子重要程度的参数%% Rho 信息素蒸发系数%% Q 信息素增加强度系数%% R_best 各代最佳路线%% L_best 各代最佳路线的长度%%=========================================================================%% 第一步：变量初始化n=size(C,1);%n表示问题的规模（城市个数）D=zeros(n,n);%D表示完全图的赋权邻接矩阵for i=1:n    for j=1:n        if i~=j            D(i,j)=((C(i,1)-C(j,1))^2+(C(i,2)-C(j,2))^2)^0.5;        else            D(i,j)=eps; %i=j时不计算，应该为0，但后面的启发因子要取倒数，用eps（浮点相对精度）表示        end        D(j,i)=D(i,j);	%        endendEta=1./D;          %Eta为启发因子，这里设为距离的倒数Tau=ones(n,n);     %Tau为信息素矩阵Tabu=zeros(m,n);   %存储并记录路径的生成NC=1;              %迭代计数器，记录迭代次数R_best=zeros(NC_max,n);       %各代最佳路线L_best=inf.*ones(NC_max,1);   %各代最佳路线的长度L_ave=zeros(NC_max,1);        %各代路线的平均长度while NC<=NC_max  %停止条件之一：达到最大迭代次数，停止    %%第二步：将m只蚂蚁放到n个城市上    Randpos=[];   %随即存取    for i=1:(ceil(m/n))        Randpos=[Randpos,randperm(n)]; %执行两次操作之后Randpos的维度为1*62    end    Tabu(:,1)=(Randpos(1,1:m))';        %%第三步：m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市，完成各自的周游    for j=2:n     %所在城市不计算        for i=1:m            visited=Tabu(i,1:(j-1));  %记录已访问的城市，避免重复访问            J=zeros(1,(n-j+1));       %存储待访问的城市            P=J;                      %待访问城市的选择概率分布            Jc=1;            for k=1:n                            %找到未访问的城市，并存在数组J中                if isempty(find(visited==k, 1))  %开始时置0 find函数返回在visited数组中k所在的位置 没有则返回0 1表示只找1次                    J(Jc)=k;                    Jc=Jc+1;                     %访问的城市个数自加1                end            end            %下面计算待选城市的概率分布            for k=1:length(J)                P(k)=(Tau(visited(end),J(k))^Alpha)*(Eta(visited(end),J(k))^Beta);            end            P=P/(sum(P));           %更新待访问城市概率数组中元素的值            %按轮盘赌法选取下一个城市            Pcum=cumsum(P);         %cumsum，元素的逐次累加和,返回值为和P维度相同的行矩阵            Select=find(Pcum>=rand);%选择概率相对较大的那个节点            to_visit=J(Select(1));            Tabu(i,j)=to_visit;        end    end        if NC>=2        Tabu(1,:)=R_best(NC-1,:);%保留一下上次最优路线至tabu第一行，保障本次迭代情况不至于太差    end        %%第四步：记录本次迭代每只蚂蚁所走距离L，记录每次迭代最佳路线距离L_best和最佳路线信息R_best    L=zeros(m,1);                       %开始距离为0，m*1的列向量    for i=1:m        R=Tabu(i,:);        for j=1:(n-1)            L(i)=L(i)+D(R(j),R(j+1));   %原距离加上第j个城市到第j+1个城市的距离        end        L(i)=L(i)+D(R(1),R(n));         %一轮下来后走过的距离    end        L_best(NC)=min(L);                  %最佳距离取最小    L_ave(NC)=mean(L);                  %此轮迭代后的平均距离        pos=find(L==L_best(NC));    R_best(NC,:)=Tabu(pos(1),:);        %此轮迭代后的最佳路线        NC=NC+1                             %迭代继续    %%第五步：更新信息素    Delta_Tau=zeros(n,n);               %开始时信息素为n*n的0矩阵    for i=1:m        for j=1:(n-1)            Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))=Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))+Q/L(i);            %此次循环在路径（i，j）上的信息素增量        end        Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))=Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))+Q/L(i);        %.此次循环在整个路径上的信息素增量    end    Tau=(1-Rho).*Tau+Delta_Tau; %考虑信息素挥发，更新后的信息素        %%第六步：禁忌表清零    Tabu=zeros(m,n);            %直到最大迭代次数end%%第七步：输出结果Pos=find(L_best==min(L_best)); %找到最佳路径（非0为真）Shortest_Route=R_best(Pos(1),:)%最大迭代次数后最佳路径Shortest_Length=L_best(Pos(1)) %最大迭代次数后最短距离%% 画出路线图，和L_best，L_ave迭代曲线figure(1)subplot(1,2,1)                  %绘制第一个子图形N=length(Shortest_Route);scatter(C(:,1),C(:,2));for i = 1:size(C,1)	text(C(i,1),C(i,2),['   ' num2str(i)]);endhold onplot([C(Shortest_Route(1),1),C(Shortest_Route(N),1)],[C(Shortest_Route(1),2),C(Shortest_Route(N),2)],'g')hold onfor ii=2:N    plot([C(Shortest_Route(ii-1),1),C(Shortest_Route(ii),1)],[C(Shortest_Route(ii-1),2),C(Shortest_Route(ii),2)],'g')    hold onendtitle('旅行商问题优化结果 ')subplot(1,2,2)                  %绘制第二个子图形plot(L_best)hold on                         %保持图形plot(L_ave,'r')title('平均距离和最短距离')      %标题

在MATLAB的算法实现当中，定义蚂蚁个数m=50，城市个数n=31，信息素重要程度参数Alpha=1，启发因子重要程度Beta=31，信息素蒸发系数Rho=0.1，最大迭代次数NC_max=200，信息素增强系数Q=100。定义禁忌表Tabu(50,31)，启发因子表Eta(31,31)，信息素浓度表Tau(31,31)，蚂蚁选择下一个未走城市概率P(k)。

启发因子表Eta(31,31)和信息素浓度表Tau(31,31)共同决定蚂蚁选择下一个未走城市概率P(k)，其计算过程为（2）式。在这之中，禁忌表Tabu(50,31)在每只蚂蚁每走过一个城市都进行更新，启发因子表Eta(31,31)为城市之间的距离始终保持不变，信息素浓度表Tau(31,31)在禁忌表填满一次后根据（1）式进行更新。

2.2 C++实现：

#include <iostream>#include <fstream>#include <stdlib.h>#include <time.h>#include <stdio.h>#include <vector>#include <algorithm>using namespace std;#define m 100				//蚂蚁的个数#define n 31				//城市的数量const int NC_max = 100;		//最大迭代次数const double Alpha = 1;		//表征信息素重要程度的参数const double Beta = 5;		//表征启发式因子重要程度的参数const double Rho = 0.1;		//信息素蒸发系数const double Q = 100;		//信息素增加强度系数const double C[n][2] =		//各个城市的坐标数据{ 	{  1304, 2312 },	{  3639, 1315 },	{  4177, 2244 },	{  3712, 1399 },	{  3488, 1535 },	{  3326, 1556 },	{  3238, 1229 },	{  4196, 1004 },	{  4312, 790 },	{  4386, 570 },	{  3007, 1970 },	{  2562, 1756 },	{  2788, 1491 },	{  2381, 1676 },	{  1332, 695 },	{  3715, 1678 },	{  3918, 2179 },	{  4061, 2370 },	{  3780, 2212 },	{  3676, 2578 },	{  4029, 2838 },	{  4263, 2931 },	{  3429, 1908 },	{  3507, 2367 },	{  3394, 2643 },	{  3439, 3201 },	{  2935, 3240 },	{  3140, 3550 },	{  2545, 2357 },	{  2778, 2826 },	{  2370, 2975 }};double D[n][n];			//表示完全图的邻接矩阵double Eta[n][n];		//表示启发式因子，为D中距离的倒数double DeltaTau[n][n];	//表示启发式因子的变化量double Tau[n][n];		//路径上面信息素的浓度int Tabu[m][n];			//禁忌表，存储走过的路径double L_best[NC_max];		//存储每次迭代的路径的最短长度double L_ave[NC_max];		//存储每次迭代的路径的平均长度int R_best[NC_max][n];		//存储每次迭代的最佳路线void ValueInit(void)		//变量初始化函数{ 	for (int i = 0; i < n; i++)			//初始化 D[n][n]	{ 		for (int j = 0; j < n; j++)		{ 			if (i != j)				D[i][j] = pow(pow((C[i][0] - C[j][0]), 2) + pow((C[i][1] - C[j][1]), 2), 0.5);			else				D[i][j] = DBL_EPSILON;		}	}	for (int i = 0; i < n; i++)			//初始化 Eta[n][n]		for (int j = 0; j < n; j++)			Eta[i][j] = 1.0 / D[i][j];	for (int i = 0; i < n; i++)			//初始化 DeltaEta[n][n]		for (int j = 0; j < n; j++)			DeltaTau[i][j] = 0;	for (int i = 0; i < n; i++)			//初始化 Tau[n][n]		for (int j = 0; j < n; j++)			Tau[i][j] = 1.0;	for (int i = 0; i < m; i++)			//初始化 Tabu[m][n]		for (int j = 0; j < n; j++)			Tabu[i][j] = 0;}void ValueDisplayTabu(int (*p)[n])	//禁忌表，存储走过的路径, 显示函数{ 	for (int i = 0; i < m; i++)	{ 		for (int j = 0; j < n; j++)		{ 			cout << *(*(p + i) + j) << ' ';		}		cout << endl;	}}void ValueDisplayTau(double(*p)[n])		//信息素的浓度,显示函数{ 	for (int i = 0; i < n; i++)	{ 		for (int j = 0; j < n; j++)		{ 			cout << *(*(p + i) + j) << ' ';		}		cout << endl;	}}double rnd(double lower, double uper)	//生成lower和uper之间的一个double类型随机数{ 	return  (rand() / (double)RAND_MAX) * (uper - lower) + lower;}int main(){ 	//第一步：进行变量的初始化	ValueInit();	int NC = 0;	while(NC < NC_max)	{ 		//第二步：将m只蚂蚁随机放到n个城市上		vector<int> temp;		for (int i = 0; i < ceil((double)m / (double)n); i++)		{ 			for (int j = 0; j < n; j++)				temp.push_back(j);		}		random_shuffle(temp.begin(), temp.end());	//打乱temp数组中元素的次序		for (int i = 0; i < m; i++)		{ 			Tabu[i][0] = temp[i];		}		//第三步：m只蚂蚁按概率函数选择n中的下一座城市，完成各自的周游		for (int j = 1; j < n; j++)		{ 			for (int i = 0; i < m; i++)			{ 				vector<int> visited;	//第i只蚂蚁已访问过的城市				vector<int> J;			//第i只蚂蚁待访问的城市				vector<double> P;		//第i只蚂蚁待访问的城市的概率				double Psum = 0.0;		//概率值和				double rate = 0.0;		//随机数				double choose = 0.0;	//轮盘赌算法累加值				int to_visit;			//下一个要去的城市				for (int k = 0; k < j; k++)					visited.push_back(Tabu[i][k]);	//visited初始化				for (int k = 0; k < n; k++)				{ 					if (find(visited.begin(), visited.end(), k) == visited.end())	//在visited中没有找到t					{ 						J.push_back(k);				//J初始化						P.push_back(0.0);			//P初始化					}				}								for (int k = 0; k < P.size(); k++)	//计算去下一座城市的概率				{ 					P[k] = pow(Tau[visited.back()][J[k]], Alpha) * pow(Eta[visited.back()][J[k]], Beta);					Psum += P[k];				}								rate = rnd(0.0, Psum);				//使用轮盘赌算法，挑选下一座要去的城市				for (int k = 0; k < P.size(); k++)				{ 					choose += P[k];					if (choose > rate)					{ 						to_visit = J[k];						break;					}				}				Tabu[i][j] = to_visit;				//更新禁忌表			}		}		//第四步：记录本次迭代蚂蚁行走的路线数据		double L[m];	//记录本代每只蚂蚁走的路程，并初始化		for (int i = 0; i < m; i++)		{ 			L[i] = 0.0;		}		for (int i = 0; i < m; i++)		{ 			for (int j = 0; j < n - 1; j++)			{ 				L[i] += D[Tabu[i][j]][Tabu[i][j + 1]];			}			L[i] += D[Tabu[i][0]][Tabu[i][n - 1]];		}				double min_value = L[0];	//声明求本代所有蚂蚁行走距离最小值的临时变量		double sum_value = L[0];	//声明求本代所有蚂蚁行走距离总值的临时变量		int min_index = 0;			//记录本代所有蚂蚁行走距离最小值的下标		for (int i = 1; i < m; i++)		{ 			sum_value += L[i];			if (L[i] < min_value)			{ 				min_value = L[i];				min_index = i;			}		}		L_best[NC] = min_value;						//每代中路径的最短长度		L_ave[NC] = sum_value / m;					//每代中路径的平均长度		for (int i = 0; i < n; i++)		{ 			R_best[NC][i] = Tabu[min_index][i];		//记录每代最短的路径数据		}				cout << NC << ": L_best is " << L_best[NC] << ' ' << "L_ave is " << L_ave[NC] << endl;	//打印各代距离信息		NC++;	//迭代继续		//第五步：更新信息素		for (int i = 0; i < m; i++)		{ 			for (int j = 0; j < n - 1; j++)			{ 				DeltaTau[Tabu[i][j]][Tabu[i][j + 1]] += Q / L[i];	//此次循环在整个路径上的信息素增量			}			DeltaTau[Tabu[i][n - 1]][Tabu[i][0]] += Q / L[i];		}		for (int i = 0; i < n; i++)		{ 			for (int j = 0; j < n; j++)			{ 				Tau[i][j] = (1 - Rho) * Tau[i][j] + DeltaTau[i][j];	//考虑信息素挥发，更新后的信息素			}		}		for (int i = 0; i < m; i++)			//禁忌表清零			for (int j = 0; j < n; j++)				Tabu[i][j] = 0;	}		//第六步：把结果画出来	double min_L = L_best[0];			//所有迭代中最短距离	int min_L_index = 0;				//所有迭代中最优路径的下标	int Shortest_Route[n];				//所有迭代中的最优路径	for (int i = 0; i < NC; i++)	{ 		if (L_best[i] < min_L)		{ 			min_L = L_best[i];			min_L_index = i;		}	}	cout << "The length of the shortest route is " << min_L << endl;	cout << "The number of iteration is " << min_L_index << endl;	cout << "The Shortest route is： " << endl << "start";	for (int i = 0; i < n; i++)		//所有迭代中的最优路径	{ 		Shortest_Route[i] = R_best[min_L_index][i];		cout << " -> " << Shortest_Route[i];	}	system("pause");	return 0;}

2.3 Python实现：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport pylabcoordinates = np.array([[0.8223865, 0.90249145],                        [0.87299287, 0.97785658],                        [0.58388132, 0.31408447],                        [0.72751158, 0.05415505],                        [0.60553193, 0.00697702],                        [0.45564878, 0.15191931],                        [0.411461, 0.17028803],                        [0.42169505, 0.29723746],                        [0.34342426, 0.13354594],                        [0.26429325, 0.17590559],                        [0.19763023, 0.12130362],                        [0.13727432, 0.25075126],                        [0.00319099, 0.38633692],                        [0.24217939, 0.40168494],                        [0.21614921, 0.42319542],                        [0.26362807, 0.54363507],                        [0.0312916, 0.64368314],                        [0.36832452, 0.75778461],                        [0.50299907, 0.50413817],                        [0.65584064, 0.93553257]])def getdistmat(coordinates):    num = coordinates.shape[0]    distmat = np.zeros((20, 20))    for i in range(num):        for j in range(i, num):            distmat[i][j] = distmat[j][i] = np.linalg.norm(coordinates[i] - coordinates[j])    return distmatdistmat = getdistmat(coordinates)numant = 40  # 蚂蚁个数numcity = coordinates.shape[0]  # 城市个数alpha = 1  # 信息素重要程度因子beta = 5  # 启发函数重要程度因子rho = 0.1  # 信息素的挥发速度Q = 1iter = 0itermax = 250etatable = 1.0 / (distmat + np.diag([1e10] * numcity))  # 启发函数矩阵，表示蚂蚁从城市i转移到矩阵j的期望程度pheromonetable = np.ones((numcity, numcity))  # 信息素矩阵pathtable = np.zeros((numant, numcity)).astype(int)  # 路径记录表distmat = getdistmat(coordinates)  # 城市的距离矩阵lengthaver = np.zeros(itermax)  # 各代路径的平均长度lengthbest = np.zeros(itermax)  # 各代及其之前遇到的最佳路径长度pathbest = np.zeros((itermax, numcity))  # 各代及其之前遇到的最佳路径长度while iter < itermax:    # 随机产生各个蚂蚁的起点城市    if numant <= numcity:  # 城市数比蚂蚁数多        pathtable[:, 0] = np.random.permutation(range(0, numcity))[:numant]    else:  # 蚂蚁数比城市数多，需要补足        pathtable[:numcity, 0] = np.random.permutation(range(0, numcity))[:]        pathtable[numcity:, 0] = np.random.permutation(range(0, numcity))[:numant - numcity]    length = np.zeros(numant)  # 计算各个蚂蚁的路径距离    for i in range(numant):        visiting = pathtable[i, 0]  # 当前所在的城市        unvisited = set(range(numcity))  # 未访问的城市,以集合的形式存储{ }        unvisited.remove(visiting)  # 删除元素；利用集合的remove方法删除存储的数据内容        for j in range(1, numcity):  # 循环numcity-1次，访问剩余的numcity-1个城市            # 每次用轮盘法选择下一个要访问的城市            listunvisited = list(unvisited)            probtrans = np.zeros(len(listunvisited))            for k in range(len(listunvisited)):                probtrans[k] = np.power(pheromonetable[visiting][listunvisited[k]], alpha) \                               * np.power(etatable[visiting][listunvisited[k]], alpha)            cumsumprobtrans = (probtrans / sum(probtrans)).cumsum()            cumsumprobtrans -= np.random.rand()            k = listunvisited[(np.where(cumsumprobtrans > 0)[0])[0]]  # python3中原代码运行bug，类型问题；鉴于此特找到其他方法            # 通过where（）方法寻找矩阵大于0的元素的索引并返回ndarray类型，然后接着载使用[0]提取其中的元素，用作listunvisited列表中            # 元素的提取（也就是下一轮选的城市）            pathtable[i, j] = k  # 添加到路径表中（也就是蚂蚁走过的路径)            unvisited.remove(k)  # 然后在为访问城市set中remove（）删除掉该城市            length[i] += distmat[visiting][k]            visiting = k        length[i] += distmat[visiting][pathtable[i, 0]]  # 蚂蚁的路径距离包括最后一个城市和第一个城市的距离        # 包含所有蚂蚁的一个迭代结束后，统计本次迭代的若干统计参数    lengthaver[iter] = length.mean()    if iter == 0:        lengthbest[iter] = length.min()        pathbest[iter] = pathtable[length.argmin()].copy()    else:        if length.min() > lengthbest[iter - 1]:            lengthbest[iter] = lengthbest[iter - 1]            pathbest[iter] = pathbest[iter - 1].copy()        else:            lengthbest[iter] = length.min()            pathbest[iter] = pathtable[length.argmin()].copy()    # 更新信息素    changepheromonetable = np.zeros((numcity, numcity))    for i in range(numant):        for j in range(numcity - 1):            changepheromonetable[pathtable[i, j]][pathtable[i, j + 1]] += Q / distmat[pathtable[i, j]][                pathtable[i, j + 1]]  # 计算信息素增量        changepheromonetable[pathtable[i, j + 1]][pathtable[i, 0]] += Q / distmat[pathtable[i, j + 1]][pathtable[i, 0]]    pheromonetable = (1 - rho) * pheromonetable + changepheromonetable  # 计算信息素公式    iter += 1  # 迭代次数指示器+1    print("iter:", iter)# 做出平均路径长度和最优路径长度fig, axes = plt.subplots(nrows=2, ncols=1, figsize=(12, 10))axes[0].plot(lengthaver, 'k', marker=u'')axes[0].set_title('Average Length')axes[0].set_xlabel(u'iteration')axes[1].plot(lengthbest, 'k', marker=u'')axes[1].set_title('Best Length')axes[1].set_xlabel(u'iteration')fig.savefig('average_best.png', dpi=500, bbox_inches='tight')plt.show()print(lengthbest[-1])# 作出找到的最优路径图bestpath = pathbest[-1]plt.plot(coordinates[:, 0], coordinates[:, 1], 'r.', marker=u'$\cdot$')plt.xlim([0, 1])plt.ylim([0, 1])for i in range(numcity - 1):    m = int(bestpath[i])    n = int(bestpath[i + 1])    plt.plot([coordinates[m][0], coordinates[n][0]], [coordinates[m][1], coordinates[n][1]], 'k')plt.plot([coordinates[int(bestpath[0])][0], coordinates[int(n)][0]],         [coordinates[int(bestpath[0])][1], coordinates[int(n)][1]], 'b')ax = plt.gca()ax.set_title("Best Path, length is % s" % lengthbest[-1])ax.set_xlabel('X axis')ax.set_ylabel('Y_axis')plt.savefig('best path.png', dpi=500, bbox_inches='tight')plt.show()

蚁群算法求解TSP问题的直观理解就是：